29/03/2009 18:19
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΣΧΟΛΙΟΥ

Για να δούμε τι κάνετε

 Το είδαμε στο http://taxalia.blogspot.com/ και είναι πολύ έξυπνο

Pure logic... (Harvard test)


If:


1 = 5


  2 = 25


   3 = 325


      4 = 4325


5 = ?


The answer is the password to open the attached file. If you crack the password, write your name in the file and pass it on.


Κατεβάστε το αρχείο excel από εδώ (66 kb μόνο) και πατήστε άνοιγμα. Είναι αρχείο excel. Ο κωδικός ανοίγματος είναι η λύση του προβλήματος. Αν λύσατε το γρίφο, θα ανοίξει το αρχείο και θα δείτε μια σειρά από ονόματα (γύρω στα 150), όσων τον έλυσαν, σε όλο τον κόσμο (τελευταίο θα δείτε το taxalia - το λύσαμε σε ..αρκετά λεπτά). Προσθέστε και το δικό σας και προωθήστε το (αν το λύσατε!). Δεν είναι hoax, δεν έχει ιούς κ.λ.π. Σας το εγγυόμαστε, ως taxalia.

Είναι απλά ένα πανέξυπνο τεστ. Μη διαδίδετε τη λύση του αν την ξέρετε.

http://www.filedropper.com/harvandtest

ΣΧΟΛΙΑ

  1. donaE avatar
    donaE 29/03/2009 18:33:32

    Πανευκολο

  2. Μανος avatar
    Μανος 29/03/2009 18:48:36

    Εσύ που έγραψες το 54325 δοκίμασες να ανοίξεις το αρχείο; Ανοίξτε το αρχείο, με τη λύση, μη γράφετε ότι σας κατέβει...Ανοίγει με το 54325;;;;

  3. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 18:54:45

    Ελύθη εντός σεκόντ. Δεν ξέρω αν κρατάει το όνομα που βάζεις όμως καθώς η τελευταία εγγραφή ήταν των ΧΑΛΙΑ.

  4. Νικόλας avatar
    Νικόλας 29/03/2009 18:55:34

    Το τεστ είναι λίγο μούφα.
    Ας μη το κάνει κάποιος που ξέρει μαθηματικά.
    Βάλτε την μάνα σας (ή την δική μου) ή το παιδί που φέρνει τις πίτσες;)

  5. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 19:02:03

    Ερώτηση από πραγματικό τεστ νοημοσύνης:
    Ανασύρεται από τον βυθό έξω από την Πάτρα Ρωμαικό πλοίο (αρχαίο) που περιέχει πάμπολλα χρυσά νομίσματα. Η μια όψη γράφει Κλαύδιος κλπ Αυτοκράτωρ κλπ στα λατινικά (όλα τα στοιχεία έστω για χάριν συντομίας ότι είναι σωστά) Η άλλη όψη έχει τον (σωστό) αυτοκρατορικό θυρεό και την ημερομηνία (την σωστή) που βασίλευσε ο εν λόγω. Έστω ότι γράφει 226 π.Χ.(στα λατινικά)
    Είναι τα νομίσματα γνήσια ή όχι; Αν όχι γιατί.

  6. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 19:03:39

    @7 Καμία σχέση δεν έχω με τα μαθηματικά. Άρα; Βγάλε συμπέρασμα.

  7. archaeopteryx avatar
    archaeopteryx 29/03/2009 19:07:36

    το παιδί που φέρνει τις πίτσες είναι μάλλον άνεργος μαθηματικός

  8. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 19:09:10

    Καλό! Νικόλα ίσα-ίσα, πιστεύω οτι για κάποιον που γνωρίζει την ουσία των μαθηματικών, από την πρώτη στιγμή η λύση χτυπάει στο μάτι του. Είναι πονηρό το test και αν το κάνουν πράγματι στο Harvard, όντως δείχνει ποιος «γνωρίζει μαθηματικά» και ποιος μόνο αριθμητικούς συλλογισμού. Εμένα βέβαια μου πήρε πολύ περισσότερο γιατί δεν ήμουν ποτέ καλός. Και νομίζω οτι όλοι μπορούν να το βρουν αν επιμείνουν και σκεφτούν έξω από την πεπατημένη, άρα το θέμα είναι σε πόσο χρόνο.

  9. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 19:11:20

    226 π.χ aποκλείεται. Λάθος, άρα κίβδηλα.

  10. (Α)θανάσης avatar
    (Α)θανάσης 29/03/2009 19:11:33

    LOL Πάλι με τα ίδια ασχολείσαι Αττράκτορα? LOL

  11. Dubai Expatriate avatar
    Dubai Expatriate 29/03/2009 19:21:44

    Τα κουίζ πρέπει να τα στέιλουμε στα κομματικά και πολιτικά γραφεία και μετά...να κρίνουμε από τις απαντήσεις. Πιστεύω ότι οι περισσότεροι δεν θα τα λύσουν!

  12. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 19:25:38

    Strange o Κλαύδιος βασίλευσε στην δεκαετία 40 - 50 μ.Χ περίπου αλλά δεν νομίζω οτι το πρόβλημα είναι εκεί, αφού λες "έστω ότι".
    Άρα το ζήτημα, λογικά εντοπίζεται στην διευκρίνηση "π.Χ". Δεν μπορεί να αναγράφει κάποιος τέτοια διευκρίνιση σε νόμισμα που κυκλοφορούσε προ Χριστού, εκτός αν είναι προφήτης.
    Σωστά ή υποτίθεται πως τα νομίσματα κατασκευάσθηκαν μετά, στην Χριστιανική Ρωμαική Αυτοκρατορία μνημονεύοντας τον Κλαύδιο? Αν ναι, πες μας και την απάντηση.

  13. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 19:36:18

    Για να το εμπλουτίσουμε πάντως, εμένα με βασάνισε κάποτε το εξής (υπαρκτό και άλυτο) παράδοξο:

    x = 0,999...
    10x = 9,999...
    10x-x = 9,999... - 0,999...
    9x = 9
    x = 1
    0,999... = 1

    !!! Μου τσουρουφλίζει το μυαλό. Αν ισχύει η διαπίστωση, μπερδεύεται πολύ η έννοια της "δεκαδικής επ' άπειρον περιόδου" με περίεργες προεκτάσεις.

  14. donaE avatar
    donaE 29/03/2009 19:41:27

    @Ξένος Δάκτυλος
    Εισαι φοβερος

  15. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 19:41:53

    @15 Σωστός ο συλλογισμός σου. Το π.Χ είναι το τρίκ. Φανταστείτε όμως το όλο ερώτημα να τίθεται πλήρως επιστημονικοφανώς σε κείμενο ολόκληρης σελίδας με διάφορα στοιχεία κλπ κλπ. Το π.Χ. να είναι σχεδόν εξαφανισμένο μέσα στη θάλασσα άλλων στοιχείων. Πάρα πολλοί(ακόμη και ιστορικοί) παγιδεύονται. Άλλος σκέφτεται αν κυκλοφορούσαν ρωμαικά πλοία ανοιχτά της Πάτρας, άλλος ψάχνει την ημερομηνία, άλλος το συντακτικό, άλλος τον Θυρεό κ.ο.κ. Σπάνια να πιάσει κάποιος το πολύ απλό (εκ των υστέρων) π.Χ. Δοκιμάστε το...

  16. einstein από κάτω avatar
    einstein από κάτω 29/03/2009 19:50:59

    Μια βλακεία και μισή είναι, ουδεμία σχέση με μαθηματικά ή λογική. Αν αυτό έχει σχέση με το Ηarvard, εγώ είμαι ο αρχιεπίσκοπος. Υποτίθεται ότι η σωστή απάντηση είναι 5 αφού λέει αρχικά ότι 1=5,άρα 5=1. Το πρόβλημα είναι ότι τα "=" στα 4 πρώτα έχουν την έννοια της αντιστοιχίας, αλλά στο 5ο το "=" γίνεται ξαφνικά και αυθαίρετα κυριολεκτικό. Φυσικά και είναι hoax.

  17. einstein από κάτω avatar
    einstein από κάτω 29/03/2009 19:53:23

    Σόρρυ εννοούσα υποτίθεται ότι η σωστή απάντηση είναι 1.

  18. αντί avatar
    αντί 29/03/2009 20:03:46

    @ 16

    Πρέπει να αποφασίσεις με πόσα δεκαδικά ψηφία θα δουλέψεις.
    Αν θεωρείς ότι είναι άπειρα τότε προφανώς το 0,999 τείνει στο 1.

  19. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 20:09:48

    @19 Δεν είναι μόνο το π.χ. Είναι όλο το πακέτο. Αποκλείεται να υπήρχε τέτοιος αριθμός, με π.χ ή χωρίς. Άλλος ήταν ο τρόπος χρονολόγησης στους Ρωμαίους.

  20. marta avatar
    marta 29/03/2009 20:22:20

    αν 1=5 και 5=1, αυτό είναι όλο... δεν είναι μαθηματικό κόλπο απλό είναι

  21. κμ avatar
    κμ 29/03/2009 20:23:14

    5 25 325 4325 54325 654325

  22. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 20:28:26

    @αντί
    ο περιοδικός αριθμός 0,999...9 τείνει στη μονάδα αλλά θεωρητικά δεν την "αγγίζει" ποτέ. Άρα κάτι δεν πάει καλά στον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε μερικά πράγματα στα μαθηματικά μέχρι στιγμής, όπως η έννοια του απείρου ή κάτι άλλο στην σύνταξη των απλών μαθηματικών μας συλλογισμών που οδηγεί σε αυτό το παράδοξο. Κάπου υπάρχει μια εγγενής αδυναμία στον αλγεβρικό τρόπο έκφρασής μας, με αποτέλεσμα να υπάρχει αν αντιστοιχία πραγματικότητας και νοητικών μας προσεγγίσεων γύρω από το ζήτημα αυτό.

  23. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 20:31:25

    x=0.99
    10x=9.9
    10x-x = 10*0.99-0.99 = 9.9-0.99=8.91
    9*x=8.91
    x=8.91/9=0.99

    Βάλε όσα δεκαδικά θέλεις και κάνε τις πράξεις. Δεν υπάρχει καμιά αντίφαση.

  24. αντί avatar
    αντί 29/03/2009 20:50:58

    @26

    Για αυτό είπα να κοιτάξει τα δεκαδικά ψηφία.
    Το λάθος που κάνει είναι ότι πάει να κάνει πράξεις με άπειρα δεκδικά ψηφία.

    Γενικά η έννοια του απείρου είναι μεγάλη ιστορία.

  25. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 20:54:55

    Το 0,99 είναι πεπερασμένος αριθμός. Το "0,99 περίοδος", δηλαδή το μηδεν ακολουθούμενο από άπειρα εννιάρια είναι άπειρος.
    Το παράδοξο προκύπτει όταν τον μεταχειρίζεσαι ως τέτοιο. Όταν λύνεις ένα πρόβλημα το λύνεις όπως σου παρουσιάζεται, δεν το μετατρέπεις σε άλλο προκειμένου να σου βγεί η λύση. Διαφορετικά λύνεις άλλο πρόβλημα από αυτό που σου ζητήθηκε.

    Δώσε 0.999... (όχι με "," αλλά με τελεία) στην wikipedia να δεις αναλυτικότερη παρουσίαση που εκφράζεται και κλασματικά.
    Δώσε 0.999... (όχι με "," αλλά με τελεία) να δεις αναλυτικότερη παρουσίαση που εκφράζεται και κλασματικά.


    Το οτι διαφορετικοί μαθηματικοί έχουν διαφορετικές ερμηνείες για το φαινόμενο, δεν καθίσταται αυτόματα «απλό και ανούσιο πρόβλημα που ξεμπερδεύεται με δυο πενιές». Αντιθέτως ισχυροποιεί το παράδοξο του πράγματος.

  26. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 21:02:12

    @αντι

    Η έννοια του απείρου είναι περίεργο πράγμα, βέβαια. Η έννοια του «λάθους» όμως, απλό και συγκεκριμένο. Την δεύτερη, δεν την χρησιμοποιείς σωστά εν προκειμένω.
    Υπάρχουν μαθηματικές πράξεις με το άπειρο που βασίζονται σε συγκεκριμένη λογική. Δεν απαγορεύεται ΚΑΘΕ πράξη με άπειρο. Δεν σηκώνουν τα χέρια ψηλά οι μαθηματικοί όταν το συναντούν ούτε κρύβονται στη ντουλάπα.
    Μια από τις πράξεις που θεωρούνται αλγεβρικά αποδεκτές από την πλειοψηφία της μαθηματικής κοινότητας αλλά οδηγούν σε αλλοπρόσαλλο αποτέλεσμα είναι και τούτη που περιέγραψα με τον περιοδικό αυτό δεκαδικό αριθμό.

  27. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 21:08:37

    @29 Δεν χρειάζεται να αρχίσουμε τις φιλοσοφίες για το άπειρο και την σύγκλιση με αφορμή αυτό το παράδειγμα. Είναι θέμα σωστών πράξεων.

    Αν όμως θέλεις πραγματικά να προβληματιστείς επάνω στην φύση του απείρου, μπορείς να πας στο “παράδοξο του Ζήνωνος”, για τον αν ο Αχιλέας μπορεί να φτάσει μιά χελώνα, ή στο ανέκδοτο για τον Von Neumann.

    Λέγεται ότι κάποτε πλησίασαν τον von Neuman, γνωστό για τις τρομερές μαθηματικές του ικανότητες, και του είπαν το παρακάτω πρόβλημα:

    Δυό τρένα που απέχουν 200 μίλια τρέχουν με ταχύτητα 50 μιλίων/ώρα το καθένα σε αντίθετες κατευθύνσεις επάνω σε ευθεία. Μία μύγα ξεκινάει πετώντας από το ένα τρένο και αρχίζει να κάνει μπρός-πίσω ανάμεσα στα δυό τρένα, με σταθερή ταχύτητα 75 μιλίων/ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει η μύγα πριν συνθλιβεί;

    Ο von Neuman μετά από λίγη σκέψη είπε το σωστό νούμερο. “Περίεργο”, του είπε ο συνομιλητής του. “Υπάρχει ο εύκολος τρόπος και ο τρόπος με σειρές. Συνήθως οι μαθηματικοί στους οποίους έθεσα το πρόβλημα προσπαθούν να υπολογίσουν το άθροισμα της σειράς και κάνουν πολλή ώρα. Ενώ εσείς το αποφύγατε”. “Μα και εγώ με σειρά το έλυσα”, του απάντησε ο von Neuman και τον άφησε άναυδο!

    Λοιπόν, αν λύσεις το πρόβλημα με τον απλό τρόπο ενός μαθητή γυμνασίου και έπειτα το λύσεις και με σειρά, τότε θα πάρεις πραγματικά μία πραγματική γεύση από το "μυστήριο" του απείρου και της σύγκλισης. Επίσης, εγώ θα σου προσθέσω και μία ακόμη ερώτηση για να προβληματιστείς εντονότερα επάνω στην σχέση ανάμεσα στην φυσική πραγματικότητα και τις μαθηματικές έννοιες: Υπολόγισε πόσες ταλαντώσεις θα κάνει η μύγα πριν συνθλιβεί ανάμεσα στα δύο τρένα.

    Για να ασχολούμαστε και με θέματα ουσίας και όχι απλού εντυπωσιασμού...

  28. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 21:19:19

    Αντιθέτως, υπάρχει το ακόλουθο «παράδοξο» που δεν είναι παρά «μαθηματική ρητορεία του πωπού». Αλλά όσοι δεν το ξέρουν, έχει πλάκα να το διαβάσουν:

    Θέλω εγώ και ο StrangeAttractor να αγοράσουμε μια τηλεόραση.
    Βάζουμε 25 ευρώ έκαστος, σύνολο 50 ευρώ (μη ρωτάτε που βρήκαμε τέτοια τιμή, είμαστε αλάνια).
    Στέλνει εμένα ο Strange λοιπόν (έτσι θέλει το παράδειγμα, να είμαι Τζανετάκος). Ο μαγαζάτορας μου κάνει σκόντο 5 Ευρώ. Άρα έχω πληρώσει 45.
    Επιστρέφοντας εγώ μοιραζόμαστε τα 5 αυτά Ευρώ, από 2,5 Ευρώ δηλαδή.
    Ο πονηρός Strange όμως που ψάχνει αφορμή να σφαλιαρώσει «τον έσχατο της αγέλης», μου λεει το εξής: Δηλαδή με άλλα λόγια Ξ.Δ, εγώ κι εσύ πληρώσαμε από 22,5 ευρώ. Αν τα προσθέσεις, μας κάνουν 45. Που πήγε το πεντάευρω ρε λωποδύτη?
    Μου δίνει μια σφαλιάρα αυτός, και μια ο τοίχος. Και αν δεν έχεις στοιχειώδη επάρκεια να εξηγήσεις πως δεν γίνεται σε μια παράσταση να προσθαφαιρείς ότι και όποτε σου γουστάρει, άντε να βρεις το δίκιο σου.

  29. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 21:31:45

    @33 Μια και μιλάμε για σφαλιάρες, τι να πω και εγώ ρε Δάχτυλε; Ο μπαμπάς μου μου έδινε ένα κατοστάρικο πριν κοιμηθώ και το βράδυ μου το έκλεβε κρυφά στον ύπνο μου. Το πρωί με σφαλιάριζε γιατί το έχασα...

    @23 Σωστός όπως πάντα στα ιστορικά...

  30. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 21:34:30

    Eyeless in Gaza δεν ξέρω για εσένα, εγώ πάντως αφού το έψαξα αρκετά, εντυπωσιάσθηκα γιατί κατάλαβα οτι έτσι όπως έχουν δομηθεί οι μαθηματικές περιγραφές μας έως τώρα, στην διατύπωση του συγκεκριμένου προβλήματος δεν υπάρχει αυτό που μπορεί να ονομαστεί ορθά-κοφτά «λάθος». Δεν ξέρω τι είναι αυτό που σε κάνει να σου φαίνεται «κενό νοήματος» ως θέμα.

    Το παράδοξο του Ζήνωνα που μαθαίναμε στο λύκειο (τουλάχιστον στον καιρό τον δικό μου την τριετία 1997-1999) δεν ταυτίζεται μεν αλλά είναι συνυφασμένο δε, με την φύση του ζητήματος που έθιξα. Όμως το πρόβλημα που μου ζητάς να λύσω δεν ξέρω καν να το διατυπώσω σε μαθηματική μορφή γιατί ήμουν τεταρτοδεσμίτης και ως εξεταζόμενοι σε αντίθεση με εκείνους της πρώτης, ποτέ δεν φημιζόμασταν για τις ιδιαίτερες μαθηματικές μας δεξιότητες.

  31. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 21:57:41

    Strange εμένα που σε μια περίοδο οικονομικών μας δυσχερειών, έκανε τακτική κατάσχεση το χαρτζιλίκι που μου έδινε ο παππούς μου αλλά και τα λεφτά από τα κάλαντα (δεν κάνω πλάκα) λέγοντας με στόμφο «σου πήρα όμως SEGA να παίζεις πριν ένα χρόνο» τι να πω? Δεν τα ζήταγε, τα γράπωνε νταηλίκι. Και άλλα πολλά που δεν ενδιαφέρουν. (Πάντως εδώ και πέντε χρόνια που ξεκίνησε αντικαταθλιπτική και αγχολυτική αγωγή, είναι άλλος άνθρωπος. Μακάρι να με γεννούσε τώρα, θα είχα γνωρίσει τι εστί σωστή σχέση πατέρα-γιού, που απολάμβαναν άλλοι φίλοι μου.

  32. PATRA avatar
    PATRA 29/03/2009 22:04:11

    @ eyeless in Gaza
    Δυό τρένα που απέχουν 200 μίλια τρέχουν με ταχύτητα 50 μιλίων/ώρα το καθένα σε αντίθετες κατευθύνσεις επάνω σε ευθεία. Μία μύγα ξεκινάει πετώντας από το ένα τρένο και αρχίζει να κάνει μπρός-πίσω ανάμεσα στα δυό τρένα, με σταθερή ταχύτητα 75 μιλίων/ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει η μύγα πριν συνθλιβεί;

    Η σχετικη ταχυτητα των τρενων ειναι (50+50 =) 100μιλ/ωρα, αρα θα συγρουσθουν σε (200/100=)2 ώρες και η μυγα θα εχει κανει (2χ75=) 150 μιλια πριν γινει κιμας. Το ποσες ταλαντωσεις θα κανει θελει μολυβι και χαρτι.
    Σωστα?

  33. Factorx avatar
    Factorx 29/03/2009 22:07:53

    Όλοι εσεις οι μαθηματικοί εδω μέσα δεν βρίσκεται και κανέναν μαθηματικό τύπο να βγάλουμε κανέναν φράγκο;

  34. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 22:10:35

    @35 Ξένε Δάχτυλε εγώ αστειευόμουν. Ανέκδοτο είναι. Αν όμως εσύ μιλάς σοβαρά, συμπάσχω και λυπάμαι ειλικρινά για το κενό που περιγράφεις.

    Όσο για τη μύγα.... Μπαιγκόν και Τέζα πριν τελειώσει τις ταλαντεύσεις.

  35. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 22:12:45

    $+$=$
    God is green and he has the shape of a dollar...

  36. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 22:27:06

    @34 Με όποιο x ξεκίνήσεις, στο ίδιο θα καταλήξεις. Αυτό εννοώ. Δεν υπάρχει τίποτε περιέργο. Τα άλλα είναι ταχυδαχτυλουργίες που κρύβουν διάφορα κάτω από το χαλί, όπως στο ανέκδοτο που είπες με την τηλεόραση, και αν τα βάλεις κάτω με μολύβι και χαρτί θα το διαπιστώσεις πολύ εύκολα.

    Το 0.9999.99 με πενήντα χιλιάδες εννιάρια, δεν θεωρείται από αυστηρή μαθηματική άποψη ίσο με 1. Το 0.99999... με άπειρα ενιάρια ορίζεται ως ίσο με 1. Και εδώ ερχόμαστε στη έννοια του απείρου για την οποία μέχρι τα μέσα του προηγούμενου αιώνα γινόταν σφαγή μεταξύ των κορυφαίων μαθηματικών.

    Τώρα, το πρόβλημα με τα τρένα λύνεται με βάση απλούστατους υπολογισμούς. Λύνεται όμως και με άθροισμα σειράς, δηλαδή με πρόσθεση απείρων όρων, απείρων αριθμών, οι οποίοι όμως δεν δίνουν άθροισμα άπειρο, αλλά πεπερασμένο. Και αυτό το άθροισμα είναι ίσο με αυτό που θα βρεις με απλούς υπολογισμούς.

    Η άλλη ερώτηση που σου έβαλα, για τον αριθμό των πήγαινε-έλα της μύγας, είναι πιό intriguing. Εκεί, θεωρώντας τη μύγα σημείο με μηδέν διαστάσεις, θα δείς ότι η σειρά συγλίνει στο άπειρο. Δηλαδή η μύγα θα κάνει άπειρα μπρος-πίσω, και παρόλ' αυτά θα συνθλιβεί. Φαινομενικά αντιφατικό. Είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος: της σύγλισης σε πεπερασμένο αριθμό των άπειρων όρων της σειράς. Αν θεωρήσεις ότι η μύγα έχει και κάποιες διαστάσεις τότε μπορείς να υπολογίσεις και τον αριθμό των ταλαντώσεων της, με φθίνον πλάτος, μέχρι να συνθλιβεί. Δηλ. μέχρι το πλάτος της ταλάντωσης να γίνει ίσο ή μικρότερο των διαστάσεών της.

    Όμως, για να μπορέσεις να προσεγγίσεις τέτοια ζητήματα πρέπει να έχεις και κάποιες προαπαιτούμενες τεχνικές γνώσεις μαθηματικών, τα οποία είναι αυστηρή επιστήμη. Δεν είναι απλά test IQ για να συγκρίνουμε τον εγκέφαλό μας με τού Obama, που έχει τιγκάρει το διαδίκτυο τώρα τελευταία. Ούτε τρικάκια σαν αυτά που κυκλοφορούν σε σχολικές ιστοσελίδες. Υπάρχουν εξαιρετικά βιβλία εκλαϊκευτικά, αλλά μέσα στα ορθά πλαίσια, για διάφορα θέματα.

    Για το μαθηματικό Άπειρο σου προτείνω το "Αναζητώντας το Άπειρο" του N.Y. Vilenkin, εκδ. Κάτοπτρο. Εκεί θα δείς πράγματι ότι η έννοια του μαθηματικού απέιρου οδηγεί σε συμπεράσματα τελείως "εξωτικά" για την καθημερινή μας εμπειρία, τα οποία ωστόσο είναι αυστηρά μαθηματικά αποδεδειγμένα.

  37. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 22:31:31

    @44 You are a regular geniouw my friend. A prodigy I dare say...

  38. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 22:32:14

    @ 37 Σωστά PATRA. Προσπάθησε τώρα να το λύσεις και με σειρά, αν έχεις τις αντίστοιχες μαθηματικές υποδομές και θα δείς ότι η σειρά συγλίνει στο 150. Αυτό θέλει όντως μολύβι και χαρτί, αν δεν είσαι von Neuman. (Δες και το 45 για τον αριθμό ταλαντώσεων).

  39. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 22:32:54

    correction: genious

  40. PATRA avatar
    PATRA 29/03/2009 22:35:56

    Για οποιον του αρεσουν τα παιχνιδια λογικης.

    Ενας φυλαρχος που του αρεσουν τα παιχνιδια λογικης εχει συλλαβει τρεις σοφους και απειλει να τους καθαρισει.
    Μετα απο παρακαλια πειθεται να τους δωσει μια ευκαιρια παιζοντας ενα παιχνιδι...

    Τους κλεινουν τα ματια και τους στιχιζουν μπροστα απο το φυλαρχο ετσι ωστε ο τελευταιος να βλεπει τους δυο μπροστινους, ο μεσαιος τον μπροστινο του και ο πρωτος, μονο το φυλαρχο.
    Τους ενημερωνουν πως "απο πεντε καπελα, δυο ασπρα και τρια μαυρα, θα βαλουν ενα στο κεφαλι του καθενος", οπως και γινεται.
    Ακολουθως, αφου τους λυνουν τα ματια, ο φυλαρχος ρωταει τον τελευταιο αν γνωριζει τι χρωμα καπελο φοραει. Ο τυπος λεει πως δεν γνωριζει και τον τρωει η μαρμαγκα.
    Τοτε ο φυλαρχος ρωταει τον μεσαιο αν γνωριζει τι χρωμα καπελο φοραει και η απαντηση ειναι πως ουτε αυτος γνωριζει και τον τρωει και αυτον το σκοτος.
    Ο φυλαρχος τοτε ρωταει αυτον που απομεινε αν γνωριζει τι χρωμα καπελο φοραει. Αυτος απαναει σωστα και σωζεται....
    Τι χρωμα καπελο φορουσε?

  41. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 22:40:03

    @40. Strange Attractor, οι οικολόγοι προτείνουν μυγοσκοτώστρα και όχι χημικό πόλεμο.

    Άλλωστε γιατί να σκοτώσεις την μύγα και να μην ανατινάξεις τα τρένα ώστε να μην σκοτώσουν την μύγα;

  42. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 22:40:25

    Άλλο η ευστροφία, άλλο η αντίληψη, άλλο η κατάρτιση, άλλο η μόρφωση και άλλο η παιδεία.
    Και ας μη ξεχνάμε ότι το I.Q. test θεωρείται μεροληπτικό (biased) και έτσι προέκυψε το E.Q. που όμως και αυτό θεωρείται ανοιχτό σε αλλογενείς παραμέτρους (tainted) και πάει λέγοντας.
    Έχω γνωρίσει πανηλίθιους μορφωμένους με δυο μαστερ και πανεύστροφους του δημοτικού. Σηκώνει συζήτηση το θέμα.

  43. PATRA avatar
    PATRA 29/03/2009 22:50:31

    @ eyeless in Gaza

    Δυστυχως, δεν ξερω απο σειρες.
    Τα μαθηματικα μου τελειωσαν στην Ευκλειδειο του Νικολαου και στην Αλγεβρα του Τοκα. (Ιστορικα βιβλια , εκδοθηκαν πριν 50 χρονια)

  44. αντί avatar
    αντί 29/03/2009 22:52:59

    @51

    Φορούσε μαύρο!
    Αφού ο τελευταίος δεν ήξερε τι χρώμα φορούσε, πρέπει οι δύο μπροστινοί του να μην φορούσαν τα δύο άσπρα, διαφορετικά θα ήξερε ότι φορούσε μαύρο.
    Άρα οι δύο μπροστά ή είχαν και οι δύο μαύρα ή ο ένας άσπρο και ο άλλος μαύρο.
    Αν είχε άσπρο ο πρώτος τότε θα είχε ο δεύτερος υποχρεωτικά μαύρο και θα ήξερε.
    Άρα αφού δεν ήξερε ο δεύτερος τι φορούσε, αναγκαστικά ο πρώτος φορούσε μαύρο.

  45. αντί avatar
    αντί 29/03/2009 22:53:48

    @49
    Ήθελα να πω

  46. PATRA avatar
    PATRA 29/03/2009 23:00:25

    @ 55, 56

    Σωστοοοοοος.

  47. Strange Attractor avatar
    Strange Attractor 29/03/2009 23:00:26

    @57 Παλιότερους ή παλαιότερους;

    Και όπως είπε η μεγίστη της σκέψης Δήμητρα Λιάνη κάποτε (1994) "Γραμματόσημο, το γράμμα του σήματος ή το σήμα του γράμματος;"
    Και νααααα χειροκρότημα απο τους κλακαδόρους για το μεγαλείο της Κουντερικής της σκέψης...
    Τι θυμήθηκα πάλι;

  48. Τηλέμαχος avatar
    Τηλέμαχος 29/03/2009 23:07:44

    a=b
    aa=ab
    aa-bb=ab-bb
    (a-b)(a+b)=b(a-b)
    a+b=b
    a+a=a
    2a=a
    2=1

    αν δεν έχει λάθος, τότε 1=2 και καταρρίπτονται όλα τα μαθηματικά του κόσμου!

    Βρείτε το λάθος!

  49. PATRA avatar
    PATRA 29/03/2009 23:15:54

    @ 60
    Αν α=β
    τοτε α-β = 0
    και το (α-β)(α+β)= β(α-β) δεν απλοποιειται σε α+β=β.

    Για να στο πω αλλοιως
    επειδη 0χ1=0χ2=0χ3=0χ οτιδηποτε
    δεν σημαινει οτι 1=2=3=οτιδηποτε.

  50. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 23:19:00

    Κάνεις διαίρεση με το μηδεν. Το ορθό αποτέλεσμα είναι άπειρον=άπειρον. Λοιπόν, δεν σταματάτε τα παιχνίδια που δεν οδηγούν πουθενά;

  51. Τηλέμαχος avatar
    Τηλέμαχος 29/03/2009 23:21:02

    Σωστοί (και γρήγοροι!)

  52. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 29/03/2009 23:25:28

    Eyeless in Gazza πολύ ενδιαφέρον. Και φυσικά όταν ταυτίζεται η πραγματικότητα με την ευκλείδεια γεωμετρία (βλέπε «ορισμός της έννοιας του σημείου»), προκύπτουν περίεργα συμπεράσματα σε πολλά τέτοια προβλήματα.

    Strange Attractor το τελευταίο σημείο στο σχόλιο σου #52 έχει να κάνει με την διαφορά αντίληψης μεταξύ "συγκλίνουσας και αποκλίνουσας".
    Η κοινωνική μηχανισμοί επικροτούν κι επιβραβεύουν την συγκλίνουσα γιατί η αποκλίνουσα δεν βολεύει. Το πρόβλημα είναι όμως –κατά κάποιους πανεπιστημιακούς εκπαιδευτικούς- πως το παιδάκι με την αποκλίνουσα νόηση που αρνείται να γράψει την ανούσια κατά τη γνώμη του έκθεση «πως πέρασα στις διακοπές» (αφού ΞΕΡΕΙ πως πέρασε στις διακοπές και δεν έχει καμία όρεξη να κουράζεται για μαλακίες, προτιμώντας να ασχοληθεί με κάτι πιο ενδιαφέρον) φαίνεται να έχει χρησιμότερη ποιότητα εξυπνάδας τελικά, από εκείνο που σπεύδει να το κάνει και μάλιστα όσο σωστότερα μπορεί.
    Και φυσικά δεν συνεπάγεται απόλυτα ότι ο κακός μαθητής είναι τελικά εξυπνότερος από τον απουσιολόγο. Αναμφίβολα υπάρχουν και στουρνάρια. Αλλά δείχνει να συμβαίνει το εξής: Η εκπαιδευτική δομή σήμερα είναι έτσι διαμορφωμένη, που μέσα στον όχλο «κακών μαθητών» κρύβονται πάρα πολλοί αξιόλογοι άνθρωποι που δεν μπορούμε να τους διαχειριστούμε σωστά γιατί μας λείπει η εκπαιδευτική «τεχνογνωσία», οι οποίοι μάλιστα θα είχαν ουσιαστικότατη και καταλυτική δράση στο κοινωνικό σύνολο υπο πιο εξελιγμένες συνθήκες.
    Ως διαπίστωση πάντως θα μπορούσε να αποτελεί εξήγηση στην ύπαρξη του διαχρονικού ερωτήματος «αφού είσαι έξυπνο παιδί, με ικανότητες και ομαλή ψυχική υγεία, τι βαθμοί ειναι αυτοί?» ή του παραπονεμένου moto της δασκάλας «πολύ έξυπνο παιδί, αλλά δε μου διαβάζει». Δεν σου διαβάζει γιατί η ποιότητα εξυπνάδας του είναι τέτοια που αδυνατείς να την διαχειρισθείς, δεν σου το μάθανε αυτό στη Σχολή σου.
    Επίσης ζητώ συγνώμη αν προσβάλλω κάποιους που ήταν πολύ καλοί μαθητές ή απουσιολόγοι, αλλά θα το πω: Ίσως εξηγεί και γιατί μπορεί να συναντάς ογκόλιθους μόρφωσης, οι οποίοι δεν κατάφεραν ποτέ τους να αποκτήσουν πνευματική καλλιέργεια. Αυτό που έκαναν ήταν να μορφώνονται προκειμένου να μαζέψουν «πόντους» για να αντεπεξέλθουν στον στίβο της ζωής, είτε κοινωνικά, είτε διαλεκτικά, είτε επαγγελματικά. Βλέπουν την ζωή σαν ένα «παιχνίδι RPG» όπου νικάει αυτός με το μεγαλύτερο «κοινωνικό» level. Χρειάζονται και αυτοί όμως, είναι απαραίτητοι. Πραγματική και ουσιαστική δίψα για γνώση όμως, λίγοι από αυτούς φαίνεται να είχαν. Και το καταλαβαίνεις αυτό από τον τρόπο που χρησιμοποιούν τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις που έλαβαν. Είτε είναι Καρδιοχειρούργοι είτε Πολιτικοί Μηχανικοί είτε Δικηγόροι.
    Ενώ ένας αμόρφωτος με πιο περιορισμένη πρόσβαση στην πληροφορία και την γνώση σε σχέση με τους προηγούμενους, μπορεί να είναι ο πιο ουσιαστικός και ευχάριστος συνομιλητής που γνώρισες τον τελευταίο καιρό. Ο οποίος διαχειρήζεται μάλιστα τα προβλήματα που προκύπτουν στην καθημερινότητά του, με τρόπο που θα τον ζήλευαν πολλοί «φωστήρες της γνώσης με κρατική στάμπα».

  53. Hase avatar
    Hase 29/03/2009 23:26:20

    Νομιζω οτι υπαρχει θεωρημα στα μαθηματικα που λεει πως καθε περιοδικος αριθμος μπορει να γραφτει σαν κλασμα οπου αριθμητης ειναι η περιοδος και παρανομαστης τοσα ενιαρια οσα ειναι τα ψηφια της περιοδου.

  54. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 23:45:44

    @65 Ναι, με ΕΞΑΙΡΕΣΗ τους δεκαδικούς με περίοδο 9. Αν πάμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα στον 0.9999, θα πάρουμε 9/9=1. Ίσως αυτό να πήγαινε να πεί ο Ξ.Δ., αλλά το παράδειγμά του ήταν ατυχές. Σωστή παρατήρηση.

  55. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 29/03/2009 23:52:38

    @65 Με την προσθήκη ότι μιλάμε για "απλούς περιοδικούς" (και όχι για "μεικτούς"), με ακέραιο μέρος μηδέν. Δηλ. για περιοδικούς που η περίοδός τους αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή, π.χ. 0.345345345... (Όταν υπάρχει ακέραιο μέρος προσθέτουμε στο κλάσμα και τον ακέραιο.)

  56. PATRA avatar
    PATRA 29/03/2009 23:59:24

    @66 eyeless in Gaza
    O περιοδικος δεκαδικος 0,999999..... με περιοδο 9 και απειρα δεκαδικα (αν δεν εχει απειρα δεν ειναι περιοδικος) ψηφια ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΞΑΙΡΕΣΗ,
    0,99999...../0,99999..... =1 οπως αλλωστε ο ιδιος σημειωνεις στο σχολιο σου @ 45.
    Ο Ξενος Δακτυλος προφανως αγνοει την εννοια του οριου στα Μαθηματικα, οπως αλλωστε και εγω (απλα εγω... δεν το εκανα θεμα)

  57. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 00:00:33

    Χαρακτηρίζεις "ατυχή" την διατύπωση ενός ζητήματως που έχει απασχολήσει μαθηματικούς σε όλο τον κόσμο, είτε σε αλγεβρική είτε σε κλασματική μορφή. Και το διατύπωσα ακριβώς όπως θα το συναντήσεις στην wikipedia, την αγγλική αλλά και την ελληνική.

  58. μιχ. νικολούδης avatar
    μιχ. νικολούδης 30/03/2009 00:03:43

    Ενας φοιτητής στην Αγγλία ζητά απο τον πατέρα του χρήματα.

    SEND
    +MORE
    ---------------
    MONEY

    Αν το κάθε γράμμα αντιστοιχεί σε ένα αριθμό απο το 0 μέχρι το 9 ,πόσα χρήματα του ζητούσε;

  59. μιχ. νικολούδης avatar
    μιχ. νικολούδης 30/03/2009 00:07:24

    SEND
    MORE
    ---------
    MONEY

    ΕΊΝΑΙ ΤΟ ΣΩΣΤΟ

  60. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 00:09:01

    Patra αν αγνοούσα την έννοια του ορίου, θα πίστευα οτι η λέξη "τείνει" εξισώνεται με την "ισούτε". Τέταρτη δέσμη είπα οτι πήγα, όχι τρίτη.

    "Ιn the last few decades, researchers of mathematics education have studied the reception of this equality among students, many of whom initially question or reject this equality. Many are persuaded by textbooks, teachers and arithmetic reasoning as below to accept that the two are equal. However, they are often uneasy enough that they offer further justification. The students' reasoning for denying or affirming the equality is typically based on one of a few common erroneous intuitions about the real numbers; for example that each real number has a unique decimal expansion, that nonzero infinitesimal real numbers should exist, or that the expansion of 0.999… eventually terminates. Number systems that bear out some of these intuitions can be constructed, but only outside the standard real number system used in elementary, and most higher, mathematics. Indeed, some settings contain numbers that are "just shy" of 1; these are generally unrelated to 0.999…, but they are of considerable interest in mathematical analysis."

  61. μιχ. νικολούδης avatar
    μιχ. νικολούδης 30/03/2009 00:12:27

    συγνώμη αλλά δεν βγαίνει.Τοποθετήσετε το MONEY ένα κλικ αριστερά ,όπως στο 70

  62. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 30/03/2009 00:21:49

    @68 Δεν καταλαβαίνω τι ακριβώς εννοείς. Πάω να φύγω και με τσιγκλάτε. Τέλος πάντων τραβάτε με κι ας κλάιω...

    0.345345345345....= 345/999

    Εδώ ο κανόνας είναι ΟΚ.

    0.999999....=9/9=1. Για αυτό λέμε ότι υπάρχει εξαίρεση. Το γιατί συμβαίνει αυτό είναι άλλη ιστορία και πάει μακρυά την βαλίτσα.

    Δεν χαρακτήρισα αυτό ατυχές, αλλά τα νούμερα που παρέθεσε, έτσι όπως τα παρέθεσε ο Ξ.Δ. δεν αποτελούν κανένα μαθηματικό αίνιγμα.

    Δεν συνηθίζω να διβάζω wiki ειδικά για τέτοια θέματα. Ελπίζω να το κοιτάξω κάποια στιγμή

  63. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 30/03/2009 00:30:51

    Να το κάνω ακόμη πιό λιανά. Επειδή, αν πάω να εφαρμόσω τον κανόνα για περιοδικό με περίοδο 9, δηλ τον 0.9999... θα πάρω 1. Για πρακτικά συνήθισε να λέγεται σαν "εξαίρεση". Η οποία όμως δεν είναι εξαίρεση, αν πούμε ότι συγκλίνει το 0.99999... στο 1. Όμως εδώ δεν παίρνω το 0.9999999..., αλλά το 1. Δεν έχει καμιά σχέση όμως με αυτά που έγραψε πιό πάνω ο Ξ.Δ.

  64. PATRA avatar
    PATRA 30/03/2009 00:36:31

    @ 74,
    στο @ 45 λες
    Το 0.9999.99 με πενήντα χιλιάδες εννιάρια , δεν θεωρείται από αυστηρή μαθηματική άποψη ίσο με 1. "Το 0.99999… με άπειρα ενιάρια ορίζεται ως ίσο με 1."
    Αρα... δεν υπαρχει εξαιρεση.

    @ 72,
    Ερμηνευτικα το ειπα, οχι αξιολογικα.
    Εγω παντως τον απειροστικο λογισμο δεν... τον εχω,
    κι ας καναμε τα ιδια μαθηματικα (ημουν δευτερη δεσμη).

    @ νικολουδης
    Μια λυση υπαρχει?

    Καληνυχτα σε ολους.

    ΥΓ Φακτορα να ανεβαζεις τετοια θεματα πιο συχνα.
    Εχεις πανω απο εβδομηντα σχολια, δεν εχεις καβγαδες, και ....εστειλες για υπνο τον Ορεστιο.

  65. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 00:41:14

    Όταν υπάρχουν απο κάτω αξιοπρεπείς πηγές, δεν διαφέρει σε τίποτα από οποιαδήποτε έγκυρη εγκυκλοπαίδεια. Επαναλαμβάνω τα νούμερα είναι ακριβή. Όταν κοιτάξεις, θα δεις οτι όποιος απορρίπτει την πράξη και το αποτέλεσμά της αυτό, εκφράζει μαθηματική πίστη. Μαθηματική γνώμη. Όχι την αλήθεια των μαθηματικών, ούτε υπερασπίζεται την ακεραιότητα της μαθηματικής σκέψης με την άρνησή του αυτή. Είναι απλώς μια θέση. Και από μαθηματικούς, υπάρχει και η αντίθετη που τη θεωρεί σωστή. Αλλά για μένα το πράγμα μπλέκει, από ένα σημείο και μετά δεν μπορώ να παρακολουθήσω τον συλλογισμό καμίας από τις δυο πλευρές.

    Όπως το έχω καταλάβει εγώ και με δικά μου λόγια, μάλλον έχει να κάνει με το γεγονός πως στα θεωρητικά μαθηματικά, δεν υπάρχουν «κατώτατοι δομικοί λίθοι» όπως π.χ στη Φυσική οι μονάδες Plank για το μήκος, τη μάζα τον χρόνο και το φορτίο. Γι αυτό αλγεβρικά αποτελέσματα όπως το 0,99..9 = 1 είναι μη νοοκαταληπτά στον υλικό κόσμο. Μπορεί να ισχύει σε θεωρητικό επίπεδο, αλλά στο φάσμα «απτής αντίληψης» του ανθρώπινου νου, να μοιάζει αλλόκοτο.

  66. Ο Χαζος του χωριου avatar
    Ο Χαζος του χωριου 30/03/2009 00:54:04

    Εξαρταται αν το 5 ειναι ο αριθμος 5 η η πεμπτη συνεχομενη ερωτηση οποτε η απαντηση δεν ειναι 1 αλλα 54325

    Τα παντα ειναι θεμα ερμηνειας...

  67. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 01:02:02

    Και για να το προεκτείνω σχετικά με το παράδειγμα του Ζήνωνα, αν έλεγες σε έναν Θεωρητικό Φυσικό να λύσει το παράδοξο, θα έλεγε νομίζω οτι ο Αχιλλέας κάποια στιγμή θα αγγίξει το όριο μήκους "1.616 252(81) × 10−35 m" κατά Plank, μεταξύ αυτού και της χελώνας. Το οποίο δεν έχει νόημα να κοπεί σε κομμάτια. Ή θα το υπερβεί ή θα μείνει ακίνητος. Ο μαθηματικός έχει άλλο τρόπο να βλέπει όμως τα πράγματα που πολλές φορές τον οδηγεί σε αδιέξοδα.

  68. Κανείς avatar
    Κανείς 30/03/2009 01:02:28

    ¨Έχω γνωρίσει πανηλίθιους μορφωμένους με δυο μαστερ και πανεύστροφους του δημοτικού. Σηκώνει συζήτηση το θέμα."

    Σωστο, παραξενε ελκυστη. Ο (συμβατικα) "πιο εξυπνος Αμερικανος" λεγεται Christοpher Michael Langan και δεν εχει παει ποτε σε κολλεγιο. Αυτος και τα αδελφια του μεγαλωσαν στη φτωχεια. Εχει γραψει το βιβλιο The Art of Knowing που ειναι καταπληκτικο, ειναι μελος της διεθνους Εταιρειας Πολυπλοκοτητας, πληροφοριας και σχεδιασμου (ειναι βιταλιστης, και οσοι ειναι βιολογοι ξερουν τι εννοω) και αντι-Δαρβινιστης. Εδω που τα λεμε η θεωρια της επιλογης ειναι μεταφυσικη θεωρια. τελος παντων ας μην επεκταθω σε αλλα χωραφια.

  69. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 30/03/2009 01:04:07

    @76. OK, μιλάμε για έναν "κανόνα", όπου διαιρούμε δύο αριθμούς και σαν αποτέλεσμα της διαίρεσης προκύπτει η άπειρη ακολουθία των αριθμών μετά την υποδιαστολή. Για όλες τις περιπτώσεις, εκτός από τα 9, όπου παίρνω κατ' ευθείαν το ακέραιο 1. Οιμαθηματικοί, επειδή είναι άνθρωποι περίεργοι, εδώ βρίσκουν μία "εξαίρεση", η οποία πράγματι αίρεται ορίζοντας το 0.99999... με άπειρα εννιάρια σαν 1. Είναι το 1. Εδώ λοιπόν παίρνουμε κατ' ευθείαν το όριο και όχι την άπειρη ακολουθία. Τέλος πάντων, δεν ήταν άστοχη η παρατήρησή σου, κάθε άλλο. Υπάρχουν όμως στα μαθηματικά κάποιες λεπτές διακρίσεις, που πολλές φορές φαίνονται για τους απέξω εξωφρενικές. Και υπάρχουν και τεράστιες διαμάχες μεταξύ μαθηματικών για την ερμηνεία κάποιων θεμάτων. Ακόμα και στις αρχές του προηγούμενου αιώνα κάποιοι κορυφαίοι μαθηματικοί δεν δέχονταν τον απειροστικό λογισμό... Η συζήτηση πάντως δεν ήταν καθόλου άσχημη.

  70. αποδόμηση... avatar
    αποδόμηση... 30/03/2009 01:16:31

    ξένε δάκτυλε,

    Τι ''νοοκαταληπτά'' ρε φίλε και ''ακατάληπτα'', κάνεις λες και ανακάλυψες την Αμερική.

    Ένα συνηθισμένο προβληματάκι που λέγεται σύγκλιση σειράς είναι αυτό που τραβάς από τα μαλλιά τόσην ώρα:
    {(limΧ->@@)της σειράς που έχω ορίσει}=1 αν θεωρήσω Χ=τα δεκαδικά ψηφία του 0,99999.

    Μη με αναγκάσεις να κάτσω να βρω όλη την απόδειξη τώρα γιατί δεν τη θυμάμαι και καλά, είναι η αλήθεια.


    Και όχι, αυτό που λες δεν ισχύει στα μαθηματικά (περί διχογνωμίας και αντίθετης άποψης και τα λοιπά) εκτός κι αν ο μαθηματικός αποφασίσει να χρησιμοποιήσει διαφορετικά μαθηματικά(όπως για παράδειγμα με τη χρήση διάφορων γεωμετριών εκτός της Ευκλείδιας) στο λογισμό του, όμως ακόμη και τότε το ξεκαθαρίζει από την πρώτη γραμμή, οπότε και πάλι δεν υπάρχει πρόβλημα.

    ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΕΝ ΥΠΆΡΧΕΙ ΔΙΧΟΓΝΩΜΙΑ ΠΑΡΑ ΜΟΝΟ ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΙΤΕ Α Σ Χ Ε Τ Ο Ι Π Ο Υ Τ Ο Π Α Ι Ζ Ο Υ Ν Σ Χ Ε Τ Ι Κ Ο Ι.

  71. αποδόμηση... avatar
    αποδόμηση... 30/03/2009 01:17:40

    Όπου @@ το σύμβολο για το άπειρο.

  72. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 30/03/2009 01:25:21

    @79. Μα το παράδοξο έχει μαθηματικά λυθεί. Κάνεις όμως μία εύστοχη παρατήρηση. Αυτό που λες για την σταθερά του planck, όντως ισχύει, όταν πάμε σε κβαντική περιγραφή του χωροχρόνου. Διότι τίθεται σε αμφισβήτηση η έννοια του "συνεχούς" στον χώρο και στον χρόνο. Η έννοια του συνεχούς, ότι μπορώ να τραβήξω μιά γραμμή, κι ανάμεσα σε δύο σημεία, όσο κοντά κι αν βρίσκονται, μπορούν να χωρέσουν άλλα άπειρα σημεία, είναι ένα μαθηματικό κατασκεύσμα από τα πιό παράξενα. Ισχύει αυτο για τον χώρο; Στην κλασσική φυσική το δεχόμαστε ότι ο χωρος και ο χρόνος είναι συνεχείς. Σήμερα οι κβαντοφυσικοί μιλάνε για ασυνεχή χωρο-χρόνο, ή για "αφρό" του χωροχρόνου κλπ. Μάλιστα οι υπολογισμοί για την απόδειξη της εξίσωσης Einstein στα υποατομικά σωματίδια (που συντίθενται από quarks) που έγινε πρόσφατα, χρησιμοποιήθηκαν τέτοιες "εξωτικές" περιγραφές του χωροχρόνου.

    Το ότι οι φυσικοί χρησιμοποιούν τα μαθηματικά, αυτό δεν σημαίνει ότι τα μαθηματικά έχουν σχέση με τη φύση. Ίσα-ίσα, το 90% των μαθηματικών για να μην πώ και παραπάνω είναι "αφύσικα". Είναι "πλατωνικά". Και όμως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιάξουμε επιτυχημένα μοντέλα περιγραφής του φυσικού κόσμου. Σε πληροφορώ ότι αν βάλεις μαζί έναν θεωρητικό μαθηματικό και έναν θεωρητικό φυσικό, τις περισσότερες φορές μάλλον δεν θα καταφέρουν να συνεννοηθούν, αν δεν τσακωθούν κιόλας...

    Καληνύχτα....

  73. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 02:10:43

    Αποδόμηση, γιατί κοπανιέσαι έτσι? «Απόδειξη» έδωσα κι εγώ. Την οποία δεν ανακάλυψα, μου την είπαν κάποτε και την μετέφερα. Το έψαξα στο internet και είδα οτι έτσι είναι. Αν για εσένα το 0,99..9 είναι απόλυτα λογικό να ταυτίζεται ακριβώς ίσο με τη μονάδα, για κάποιους δεν είναι. Μεταξύ των οποίων και άνθρωποι εξοικειωμένοι με τη μαθηματική σκέψη. Νιώθουν έκπληξη με το αποτέλεσμα που ξεπετάχτηκε μπροστά τους και το διαδίδουν.
    «Τσουκαλαδισμό» συναντώ πολλές φορές στη ζωή μου. Σε τέτοιες συζητήσεις, πρώτη φορά. Μπορώ να πω οτι ξέχασες να κλείσεις και με «άντε γεια» το σχόλιό σου, για να βρίσκεται σε αρμονία ο επίλογος με το γενικότερο ύφος που μου απηύθυνες το λόγο.

    Eyeless in Gaza δεν το αποκλείω να τσακωθούν. Αν ο ένας θεωρεί τα Μαθηματικά "τσιφλίκι" του και ο άλλος έχει σφιχαγκαλιάσει την Φυσική σαν γκόμενα, ίσως προκύψει ένα νοσηρό είδος διαλόγου. Ο ένας θα υπερασπίζεται με θέρμη την «ποιητικότητα» των αριθμών και ο άλλος προκλητικά, την πρακτική τους εφαρμογή και μόνο.

  74. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 02:36:02

    «Μεταφυσικός» είναι εξ’ ορισμού ο Δημιουργισμός και ο Βιταλισμός. Η Φυσική Επιλογή, μια απλή, κυνική διαπίστωση που απλώς ενοχλεί ορισμένους. Υπάρχουν γιατροί (με άδεια εξασκήσεως επαγγέλματος) που δεν δέχονται οτι το AIDS προέρχεται από τον ιό HIV. Η επαγγελματική ιδιότητά τους, δεν απαλύνει την γραφικότητα της άποψής τους. Αν αποδείξουν αυτό που λένε, θα υποκλιθούμε όλοι. Μέχρι στιγμής, είναι απλώς γραφικοί. Αν θέλεις, πιστεύω μπορείς να επεκταθείς, δεν θα σε παρεξηγήσει κανείς. Γιατί πραγματικά με ιντριγκάρει η σιγουριά που διατύπωσες την τελευταία σου φράση. Που την βρήκες?

  75. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 02:36:29

    Το από πάνω πάει στον "Κανείς".

  76. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 03:12:58

    Να προσθέσω επίσης πως ο Δημιουργισμός ως μόδα των τελευταίων ετών, είναι ρεπουμπλικανικής εμπνεύσεως και μάλιστα των οπαδών του “muscular christianity” (sic). Δεν τους βγαίνουν τα κουκιά σε ορισμένες τους αντιλήψεις και προσπαθούν με επιστημονικοφανείς ζειμπεκιές να αποδείξουν τα αναπόδεικτα, προκειμένου να πείσουν το σώμα των καθηγητών να διδάσκει μεταφυσικές εικασίες, παράλληλα με την Εξέλιξη των Ειδών στους μαθητές. Ίδιος χρόνος για τον τεκμηριωμένο Δαρβίνο, ίδιος και για τον κύριο Μπουρδούμπαση προκειμένου να μη παίζουν οι θεωρίες του πρώτου σε άδειο γήπεδο και μας βγουν τα παιδιά «μηδενιστές της ηθικής». Λες και το ένα συνεπάγεται το άλλο. Αν θέλει ο άλλος να βγει ανήθικος ή ισοπεδωτικός, θα το κάνει ανεξάρτητα του τι θα τον διδάξεις εσύ. Θα την βρει τη φόρμουλα ώστε να γίνει τέτοιος, χωρίς τις τύψεις που προσπαθείς να του εμφυτεύσεις ως κοινωνική ασφαλιστική δικλείδα.

    Ο Βιταλισμός από την άλλη είναι κάπως πιο εύπεπτος αλλά και πάλι ακραία υποθετικός. Ουσιαστικά αρνείται να δεχθεί την ζωή ως «ιδιότητα» ή «συμπαντική παράμετρο» που προκύπτει υπό συνθήκες, όπως συμβαίνει με την βαρυτική έλξη. Την θέλει να είναι έξωθεν (και κατά αρκετούς «άνωθεν») εκπορνευόμενη, με κέντρο τροφοδοσίας που παραπέμπει σε πνευματιστικού τύπου εκδοχές. Επειδή όμως το αντιληπτό από τον άνθρωπο σύμπαν έχει ολογραφική υπόσταση και «προβολική υφή», προσωπικά το αφήνω ανοικτό ως ενδεχόμενο. Ικανοποιεί και την λογοτεχνική θεώρηση της ζωής, που πιστεύω δεν πρέπει να χαθεί από μέσα μας ποτέ και για κανένα λόγο, αφού είναι κάτι που μας κάνει να ξεχωρίζουμε από το υπόλοιπο ζωικό βασίλειο.
    Οι περισσότερες θέσεις του όμως έχουν καταρριφθεί και οι υπόλοιπες είναι είτε ανεπιβεβαίωτες, είτε εκ φύσεως μη αποδείξιμες.

  77. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 03:30:19

    "Εκπορευόμενη" φυσικά, και όχι "εκπορνευόμενη". Ας είναι καλά ο δαίμονας του πληκτρολογίου.

  78. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 30/03/2009 09:53:39

    @85. Ξένε Δάκτυλε, με έκανες και έψαξα την wiki.

    Και γράφει ακριβώς αυτά που σου είπα, ΚΑΙ ακριβώς αυτά που ανέφερα σχετικά με την “εξαίρεση” στον κανόνα σύμφωνα με τον οποίο μπορούμε να γράψουμε τους απλούς περιοδικούς ως ρητούς, δηλαδή κλάσματα ακεραίων. Όπου στην περίπτωση του περιοδικού 0.9999 εμφανίζεται το ακέραιο 1.

    Εδώ βρίσκεται και η “εξαίρεση” που δεν καταλάβαινε (και με το δίκιο του) ο PATRA, και είναι σε επίπεδο συμβολισμού. Υπάρχει ένα λεπτό ζήτημα, όπως του είπα, ότι ο ακέραιος 1 στο δεκαδικό σύστημα μπορεί να εμφανισθεί με δύο συμβολισμούς που σημαίνουν ακριβώς τον ίδιο αριθμό. Δεν γράφει πουθενά στην wiki ότι υπάρχει αμφισβήτηση για το αν ο περιοδικός 0.99999... είναι αυστηρά το 1.

    Το γιατί ένας ακέραιος μπορεί να εμφανισθεί με δύο διαφορετικούς, απολύτως ισοδύναμους συμβολισμούς, για τους μαθηματικούς ΕΙΝΑΙ ένα θέμα. Και αυτό το θέμα ξεκινάει ακριβώς από το ότι ο περιοδικός 0.9999... είναι ΙΣΟΣ με 1.

    PATRA, για να καταλάβεις πώς “παίζει” το 0.9999... με το 1, δες το με τα μάτια ενός παιδιού που αρχίζει να μαθαίνει αριθμητική. Έρχεται ένας πιτισρικάς που μόλις έμαθε διαίρεση και σου λέει: “Μπορείς να μου δώσεις δύο ακέραιους αριθμούς που αν τους διαιρέσω θα βρω 0.111111..., δηλ. θα βάζω συνέχεια μονάδες στο πηλίκο μετα την υποδιαστολή;" Εσύ, ξέροντας τον κανόνα που είπαμε, του λές αμέσως 1/9. Αυτός μετά σου λέει να του δώσεις κλάσμα ακεραίων που να κάνει 0.2222.... Του δίνεις το 2/9, ΟΚ. Σου ζητάει το ίδιο για το 0.3333..... Τού δίνεις το 3/9=1/3, ΟΚ. Τέλος φτάνεις στο 0.99999..... Ο μικρός περιμένει τα νούμερα κι εσύ του λές 9/9=1. Τότε αυτός στραβομουτσουνιάζει και σου “λέει μα αυτό δεν μου δίνει το 0.9999999....., είναι ακέραιος!” Αν, ο πιτσιρικάς θέλει να δεί σώνει και καλά τα άπειρα εννιάρια, του κάνεις το εξής κόλπο: Πάρε το 1/3 = 0.3333... και πολ/σίασε τον δεκαδικό του συμβολισμό με το 3. Ο μικρός θα βρεί το 0.99999....
    Τι μας λέει αυτό: (1/3)*3 = 1=0.99999.... Παίζουμε λοιπόν με τους δύο συμβολισμούς του 1. Αργότερα φυσικά ο μικρός θα μάθει στο λύκειο για την έννοια του ορίου και της σύγκλισης και εκεί θα καταλάβει γιατί συμβαίνουν ορισμένα πράγματα.

    Επαναλαμβάνω ότι στα μαθηματικά πρέπει να ξέρουμε πάντα γιατί μιλάμε και να έχουμε και κάποια σχέση με το αντικείμενο, και να είμαστε ακριβείς. Ή να προσπαθούμε να είμαστε όσο το δυνατό ακριβείς.

    Εγώ απορώ πως μιλούσατε με τις ώρες προχθές για θέματα όπως η θεωρία του χάους, κβαντοδυναμική θεωρία του χωροχρόνου, χωρίς να έχετε ξεκαθαρίσει μαθηματικές έννοιες όπως του ορίου, ή της σύγκλισης. Άντε μετά να σου εξηγήσει κάποιος τι είναι το fractal, τα σύνολα με κλασματικές διαστάσεις κλπ...

  79. αλλενάκι avatar
    αλλενάκι 30/03/2009 10:57:26

    εμ ...
    δεν χρησιμοποιώ ποτέ το θολό ωκεανό της βικιπέντια, ποιος έχει αποφασίσει τι μπαίνει μέσα στη βικιπέντια και από που είναι οι πηγές - χρησιμοποιώ μόνο βιβλία έγκυρων εκδοτικών οίκων όταν χρειαστεί.

  80. Μαύρη ειναι η νύχτα στα μυαλά avatar
    Μαύρη ειναι η νύχτα στα μυαλά 30/03/2009 11:23:38

    Ρε eyeless, τι κάθεσαι και τους εξηγείς. Αυτοί είναι τυφλοί, αποκλείεται να τους ανοίξεις τα μάτια. Τα μαθηματικά είναι "αριστοκρατική" απασχόληση. Ο αφοδευτής του Βολταίρου που πήγε, να ρθεί να χ.σει και κανέναν Gauss;
    Κάντους κανένα κόλπο σαν εκείνο που μετράνε τα δάχτυλα του ενός χεριού και τα βρίσκουν 6, να περάσουν αυτοί καλά κι εσύ καλύτερα.

    Αυτά είναι τα αποτελέσματα της ελληνικής εκπαίδευσης. Αμορφωσιά, ημιμάθεια, δοκησισοφεία, αλλαζονεία της ημιμάθειας. Και αυτό το λένε και "δημοκρατικό" δικαίωμα, από πάνω!

  81. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 13:44:34

    Eyeless in Gazza έχει δημιουργηθεί μια παρεξήγηση γύρω από το όλο θέμα και δεν καταλαβαίνω γιατί: Οι ενστάσεις μου και οι αντιδράσεις μου προήλθαν από το γεγονός πως και εσύ όπως και άλλοι, προσπαθούσατε να με πείσετε οτι όντως το 0,99..9 είναι ίσο με τη μονάδα, χωρίς να αντιλαμβάνεστε οτι αυτό ΔΕΝ ΤΟ ΑΜΦΙΣΒΗΤΗΣΑ. Προσπαθούσε ο καθένας να μου το εξηγήσει με διαφορετικό τρόπο, χωρίς να καταλαβαίνει οτι δεν είχα καμία αντίρρηση για την μαθηματική εγκυρότητά του. Με την φιλοσοφική του διάσταση απλά προβληματίζομαι.
    Με εντυπωσιάζει απλώς, ως γεγονός. Όταν έχεις έναν αριθμό που λογικά θα έπρεπε να πλησιάζει διαρκώς τη μονάδα χωρίς να την αγγίζει ποτέ, αλλά οι αποδείξεις λένε άλλα, είναι ένα ζήτημα. Κάποιοι προσπαθούσαν να με πείσουν οτι κάνω θέμα κάτι που δεν έπρεπε να γίνει, όπως την ισότητα «1+1=2». Και έρχομαι λοιπόν και λέω: Ώπα ρε μάγκες! Με τον Πένροουζ παρέα πίνετε όλοι εσείς καφέ τα απογεύματα για να σας φαίνεται τόσο λογικό, και να το παίρνεται χαλαρά στο ρελαντί? Εδώ κάποιοι προσπάθησαν να με βγάλουν και γραφικό πάνω στο όλο θέμα, ότι δήθεν έκανα σαν την Δέσποινα Στηλιανοπούλου που ανακάλυψε το «Πυθαγόρειο Θεώρημα» και προσπαθεί να εντυπωσιάσει τις φίλες της την ώρα του μανικιούρ.
    Τέλως πάντων, το αυτόσαμε πολύ.

  82. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 14:10:37

    Και στην περίπτωσή σου υπάρχει μια αντίφαση: από τη μια το χαρακτήρισες αρχικά ως "ταχυδακτυλουργικό τρικ" και "ατυχή διατύπωση", ενώ αργότερα ξεκίνησες να επιχειρηματολογείς υπέρ τις ορθότητάς του. Δεν καταλαβαίνω ούτε τι έγινε ούτε τι δεν είπα καλά και προκλήθηκε όλο αυτό το μπάχαλο. Ξαναδιαβάζω τα σχόλιά μου και τα βρίσκω ξεκάθαρα στην διατύπωσή τους: «Ελάτε να δείτε κάτι κουφό που προκύπτει σε μια αλγεβρική απόδειξη». Τόσο απλά.
    Κι αν η απάντηση είναι πως «αν ήξερες τόσο καλά μαθηματικά όπως εγώ και κάποιοι άλλοι δεν θα σου φαινόταν κουφό», δεν μπορώ να δώσω ανταπάντηση σε τέτοιο κομπλεξισμό. Απευθύνθηκα σε όσους έχουν «μέσες μαθηματικές γνώσεις» όπως εγώ, όχι σε αυτούς που "κάτι τέτοια τα παίζουν στα δάκτυλα ενώ παράλληλα χτυπάνε και αυγολέμονο παίζοντας κομπολόι με τις πατούσες".
    Ρε τι πάθαμε όμως, μερικές φορές ίσως θα έπρεπε να γράφω με διαφορετικό nickname για να μη σκανδαλίζω ορισμένους με το που βλέπουν το όνομά μου. Συνταγή μαγειρικής να ανεβάσω, πάλι ξινίλες θα εισπράξω από μερικούς, φοβερά πράγματα.

  83. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 14:34:39

    Γενικότερα και κλείνοντας, υπάρχει λάθος στον συλλογισμό που οδηγεί στο συμπέρασμα 0,99..9 = 1? Έχει γίνει κάποια μη επιτρεπτή ή αυθαίρετη μαθηματική πράξη? Προφανώς όχι.
    Είναι εντυπωσιακό? Για τους περισσότερους από εμάς αλλά και για φοιτητές μαθηματικούς που τους το βάζει ο καθηγητής και πλακώνονται αναμεταξύ τους, ξεκάθαρα ναι. Όλα τα άλλα πως προέκυψαν και γιατί ξεχειλώθηκε έτσι το πράγμα, δεν το καταλαβαίνω.

  84. αλλενάκι avatar
    αλλενάκι 30/03/2009 14:36:39

    τι είναι harvand?

  85. μιχ. νικολούδης avatar
    μιχ. νικολούδης 30/03/2009 15:11:47

    PATRA@70 Υπάρχει μόνο μία λύση

  86. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 16:20:41

    (Δεν δέχεται το σχόλιο που προσπαθώ να ανεβάσω γιατί μου κάνει ξανά κόλπα με τους αγγλικούς χαρακτήρες. Ακολουθούν αγγλικές λέξεις με ελληνικά γράμματα απείρου κάλλους)

    Άιλες ιν Γάζα, διάβασα κι εγώ το άρθρο ξανά. Ποιο από τα δυο κοίταξες? Το αγγλικό ή το ελληνικό? Στο Αγγλικό υπάρχει –εκτός των άλλων- και το χωρίο “σκέπτικς ιν ετζουκέισον ” που εξηγεί πως φοιτητές μαθηματικών, άνθρωποι δηλαδή που δεν κολλάνε κατσαρόλες στον τομέα αυτό, εκφράζουν έντονη και διαρκή αμφισβήτηση. Για να καταλάβουν και να συλλάβουν το τι συμβαίνει, όσοι από αυτούς τέλος πάντων, θέλει κόπο και χρόνο.
    Και στον λινκ «ιν πόπιουλαρ κάλτσουρ» δείχνει την διάσταση που έχει πάρει το θέμα ακόμα και σε συζητήσεις απλών ερασιτεχνών, φίλων των μαθηματικών.
    Όσο για τους διπλωματούχους μαθηματικούς, ακόμη κι εκείνοι όπως είπες κι εσύ και το wiki, υπάρχουν στιγμές που δεν γίνεται να το δεχθούν, αναλόγως την φύση του προβλήματος που εξετάζουν, γιατί σκαλώνουν οι εξισώσεις τους.
    Μη μου λετε λοιπόν για «λάθος διατύπωση» πρώτον, ούτε για «ταχυδακτυλουργικά τρικ» ή "τράβηγμα από τα μαλλιά". Κανένα τρικ. Και καθόλου «αυτονόητο» ως αποτέλεσμα. Η εξίσωση ισχύει αλλά δεν χωνεύεται εύκολα.
    Συνεπώς ούτε άχρηστη ήταν η παράθεσή μου, ούτε «ψευδοεπιστημονική», ούτε «ημιμαθής». Και όπως προείπα, για να το καταλάβει και να το αποδεχθεί κάποιος -ακόμη και αν είναι επιστήμονας- σχεδόν αμέσως, πρέπει να είναι αρκετά εξοικειωμένος με έννοιες των Θεωρητικών Μαθηματικών. Δεν θα έμπαινα ποτέ σε φόρουμ μαθηματικών να τους "δείξω" κάτι τέτοιο, αφού θα το είχαν ήδη υπ' όψη. Εδώ δεν νομίζω οτι το ήξεραν όλοι ούτε οτι όλοι το βρήκαν αμέσως λογικό.

    Υ.Γ) Το ύφος μου είναι λίγο έντονο απέναντι σου και δεν το αξίζεις. Σπασμένα άλλων πληρώνεις βασικά και ζητώ συγνώμη γι αυτό. «Χτυπάω το σαμάρι για να ακούσουν τα.. γαϊδούρια», που η οικογένεια τους δεν τους έμαθε ποτέ να είναι όσο πιο κύριοι μπορούν όταν μιλούν σε κάποιον που αντιπαθούν, και με τα οποία δεν μπαίνω σε διαδικασία διαλόγου. Συγνώμη και πάλι.

  87. Hase avatar
    Hase 30/03/2009 17:53:30

    @79
    Ξενε δακτυλε
    Δεν μπορεις να εφαρμοσεις κβαντισμο στον μεγαλοκοσμο. Ο κβαντισμος ειναι μονο στον μικροκοσμο αντιληπτος, επομενως το παραδειγμα του Ζηνωνα δεν ισχυει οπως το παραθετεις.

  88. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 30/03/2009 18:32:51

    Hase έχεις δίκιο απλά ως "μέσος άνθρωπος" με τις έως τώρα σκόρπιες πληροφορίες που έχω, είναι ο μόνος τρόπος να ερμηνεύσω πρόχειρα τον λόγο για τον οποίο όταν πλησιάζουμε κάτι, το φτάνουμε και το προσπερνάμε, χωρίς να διανύουμε άπειρα σημεία στον χώρο, όπως στο πρόβλημα της διχοτόμησης. Σαν το περίφημο "Μποζόνιο του Χίγκς", φαντάζομαι στο πλέγμα του χωροχρονικού συνεχούς πως υπάρχει κάτι που θα λειτουργεί ως κατώτατη δομική μονάδα. Εδώ η σύγχρονη Φυσική τεμαχίζει τον χρόνο σε μικρές "τριγωνικές" κυψέλες σαν ταψί μπακλαβά, όπου υποτίθεται ο χρόνος δεν έχει ομαλή «αναλογική» πορεία, αλλά κλιμακωτή. Σιγά λοιπόν μη διστάσω εγώ να κάνω μια τέτοια νοητή παραδοχή στο δικό μου μορφωτικό επίπεδο, για να βγω από το αδιέξοδο της σκέψης αυτής.
    Κατανοώ οτι ο συλλογισμός μου στο συγκεκριμένο σημείο είναι αυθαίρετος, επιστημονικά αστήρικτος και «μπαστουνοβλαχέ», αλλά δεν έχω άλλα γνωστικά μέσα στο ζήτημα ώστε να τακτοποιήσω την απορία μου. Και για να μου το εξηγήσει αναλυτικά και σωστά κάποιος αυτό το θέμα, πρέπει να με μάθει την Αλφα Βήτα του πρώτου έτους Θεωρητικής Φυσικής ή Μαθηματικών πρώτα, δηλαδή χαιρετίσματα.

  89. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 30/03/2009 22:54:50

    @ "Ξένος Δάκτυλος Says:
    March 29th, 2009 at 7:36 pm

    Για να το εμπλουτίσουμε πάντως, εμένα με βασάνισε κάποτε το εξής (υπαρκτό και άλυτο) παράδοξο:

    x = 0,999…
    10x = 9,999…
    10x-x = 9,999… - 0,999…
    9x = 9
    x = 1
    0,999… = 1

    !!! Μου τσουρουφλίζει το μυαλό. Αν ισχύει η διαπίστωση, μπερδεύεται πολύ η έννοια της “δεκαδικής επ’ άπειρον περιόδου” με περίεργες προεκτάσεις."

    Αυτά έγραψες χθές!

    @99 Τώρα να χαρώ που με θεωρείς “σαμάρι” και όχι γάϊδαρο, ή να αρχίσω να γκαρίζω για να αναβαθμιστώ σε γαϊδούρι. Τέλος πάντων, μία τελευταία προσπάθεια γιατί βλέπω ότι έχεις αρρωστήσει με τα εννιάρια...

    Διάβασα και το αγγλικό και το ελληνικό. Έχει μέσα πράγματα σωστά και αποδεκτά, και άλλα ανάξια λόγου, όπως αυτό που έκανες copy-paste. Παρακάτω, όμως, σου παραθέτει και την αυστηρή απόδειξη με την συγκλίνουσα σειρά. Και περιλαμβάνει όλα όσα κι εγώ έγραψα στα διάφορα σχόλια, και άλλα ακόμη, που όμως για να μπορέσεις να προσανατολιστείς και να τα αξιολογήσεις πρέπει να έχεις ήδη μία στοιχειώδη προπαιδεία στα μαθηματικά, που λογικά σαν απόφοιτος λυκείου, έπρεπε να είχες.


    Λοιπόν αυτό δεν ισχύει για πεπερασμένο αριθμό με εννιάρια. Αποκλείεται να καταλήξεις ποτε σε 0.999=1, λόγου χάρη. Διότι ταχυδακτουργικά προσθέτει ένα εννιάρι στον πολ/σιασμό επί 10. Η πράξη 10*0.999 δίνει αποτέλεσμα 9.99 και όχι 9.999 . (βλ. σχ. 27). Άρα, για να μπορείς να προσθέτεις ένα εννιάρι τη φορά, προυποτίθεται ότι έχεις τον περιοδικό αριθμό 0.9999... με άπειρα εννιάρια και κάνεις πράξεις με αυτόν. Είναι λοιπόν απόπειρα “ελαφρολαϊκής” απόδειξης ότι 0.99999... (άπειρα ψηφία) = 1. (βλ. σχ. 45). Ε, και τι δεν πάει καλά; Πού είναι το πρόβλημα; Το ότι ο περιοδικός 0.9999... είναι το 1, αποδεικνύεται αυτηρά στην ανάλυση με τον τρόπο που έχει παρακάτω και η βικιπαιδεία στη οποία αναφέρεσαι.

    Πού είναι το "άλυτο πρόβλημα";;;;

    Πού και πώς υπονομεύονται τα θεμέλια των δεκαδικών περιοδικών με “επ' άπειρον περίοδο”, πώς το λες;;;

    Ποιές είναι οι "περίεργες προεκτάσεις";;;;

    Το μόνο θέμα που προκύπτει είναι ότι στο δεκαδικό σύστημα υπάρχουν δύο ισοδύναμοι συμβολισμοί της μονάδος, το 1 και το περιοδικό 0.99999.... Στο δυαδικό ισχύει 0.11111.... = 1. Πάλι δύο ισοδύναμοι ψηφιακοί συμβολισμοί της μονάδος.

    Τώρα, αν κάποιοι μαθητές ή φοιτητές έχουν πρόβλημα να το κατανοήσουν, αυτό είναι άλλο θέμα. Και εγώ έχω πρόβλημα να κατανοήσω την απόδειξη της εικασίας Poincare από τον Πέλερμαν, αλλά αυτό είναι δικό μου πρόβλημα, όχι των μαθηματικών. Τι τώρα; Θα κάνουμε γενική συνέλευση των φοιτητών μαθηματικού για να ψηφίσουμε αν μας αρέσει ή όχι που το 0.99999... είναι το 1. Αστεία πράγματα. Για εκπαιδευτικούς συμβούλους βέβαια είναι χρήσιμες αυτές οι επισημάνσεις.

    Στα μαθηματικά, ότι έχει αποδειχθεί αυστηρά μέσω στο υπάρχον αξιωματικό πλαίσιο το δέχεσαι, άσχετα αν το “καταλαβαίνεις”, ή όχι, ή σου αρέσει, ή δεν σου αρέσει. Υπάρχουν φυσικοί που παίζουν στα δάχτυλά τους την κβαντομηχανική, κι όμως αν μιλήσεις μαζί τους σου εξομολογούνται ότι “δεν την καταλαβαίνουν”. Ωστόσο την δέχονται και την χρησιμοποιούν στη δουλειά τους. Αν θέλεις να φιλοσοφήσεις με βάση τα μαθηματικά θεωρήματα, μπορείς να το κάνεις. Αυτό το έκαναν πολλοί από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Οι πυθαγόρειοι, ο Πλάτωνας, ο Laplace, κλπ. Και οι αρχαίοι μαθηματικοί και φιλόσοφοι είχαν πάθει σοκ όταν ανακάλυψαν την ύπαρξη των αρρήτων αριθμών. Υπάρχουν και κάτι ωραίες ιστορίες με αυτήν την υπόθεση για τους Πυθαγόρειους...

  90. αλλου avatar
    αλλου 31/03/2009 16:04:46

    πανεύκολο είναι
    τελικά έχουμε φτάσει σε ένα σημείο να μη μπορούμε να λύσουμε τα εύκολα γιατί δε βάζουμε το μυαλό μας να δουλέψει

  91. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 31/03/2009 19:01:33

    eyeless in Gazza δεν καταλαβαίνω τη στάση σου. Πόσες φορές πρέπει να το γράψω? Και πόσα προκαταβολικά "συγνώμη" πρέπει να σου ζητήσει κάποιος για να μην ανέβουν εκ νέου οι τόνοι? Όταν λέω "πρόβλημα" δεν εννοώ με τη μαθηματική έννοια. Απαξ και αποδείχθηκε, τέρμα. Να ξαναδιαβάσεις τα σχόλιά μου ψυχραιμότερα. Και όχι, ο απλός απόφοιτος λυκείου τέταρτης δέσμης δεν έχει καμια υποχρέωση να γνωρίζει αυτά που λες, δεν ξέρω πόσο χρονών είσαι και πότε πήγες λύκειο εσύ. Δεν προσθέτεις "ένα εννιάρι τη φορά". Είναι πάντοτε άπειρα. Κι αν ίσχυε αυτό που λες, δεν θα γινόταν θέμα ανα τον κόσμο αυτή η απόδειξη, εκτός αν είσαι παιδί-θαύμα των μαθηματικών οπότε τα σέβη μου.
    Άλλο «εκλαϊκευμένη προσέγγιση» και άλλο «είναι ταχυδακτυλουργικό».

    «Το 0.9999.99 με πενήντα χιλιάδες εννιάρια, δεν θεωρείται από αυστηρή μαθηματική άποψη ίσο με 1. Το 0.99999… με άπειρα ενιάρια ορίζεται ως ίσο με 1. Και εδώ ερχόμαστε στη έννοια του απείρου για την οποία μέχρι τα μέσα του προηγούμενου αιώνα γινόταν σφαγή μεταξύ των κορυφαίων μαθηματικών.»¨

    Κι αυτό, είναι κάτι που έγραψες εσύ.

    Το ξεχειλώσαμε, το σκίσαμε πολύ.

  92. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 31/03/2009 19:28:02

    Επίσης όταν λέω «περίεργες προεκτάσεις» είναι αυτό που λέω ακριβώς. Ο περιοδικός αριθμός 0,99..9 είναι από την ίδια του τη φύση ΠΕΡΙΠΟΥ ίσος με ένα για έναν άνθρωπο που γνωρίζει τα στοιχειωδώς βασικά περί «περιοδικών αριθμών». Εδώ φαίνεται να προκύπτει μια ιδιότυπη εξαίρεση όμως που προβληματίζει. Μήπως υπάρχουν και άλλες? Δεν γνωρίζω.
    Είναι σαν να προκύπτει π.χ εξαίρεση στο αξίωμα των παραλλήλων γραμμών που δεν τέμνονται ποτέ. Δεν θα ήταν εντυπωσιακό από μόνο του? Κι αν κάποιος το διέδιδε από που και ως που προκύπτει οτι το κάνει για «εντυπωσιασμό» όπως υπαινίχθηκες εξ’ αρχής?
    Εδώ πλακώνονται άνθρωποι σε forums και αίθουσες πανεπιστημίων, που παίζουν τα μαθηματικά στα δάκτυλα. Δεν είχα ούτε την πρόθεση να ξεκινήσει κι εδώ κάτι τέτοιο, ούτε την πεποίθηση οτι θα βγάλω εγώ το «φίδι από την τρύπα» ειδικά συζητώντας με ανθρώπους που φαίνεται να έχουν εμφανώς ανώτερες γνώσεις μαθηματικών από εμένα, όπως εσύ.

  93. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 31/03/2009 20:26:39

    Κλείνοντας, ενώ το πρόβλημά μου είναι καθαρά φιλοσοφικό, με προτρέπεις να μην ασχολούμαι με την φιλοσοφική του προέκταση αλλά να περιοριστώ στα των αριθμών. Γιατί? Επειδή δεν μπορώ να το συλλάβω, οφείλω να το παρατήσω τελείως και να μη το κοσκινίσω όπως και όσο μπορώ?
    Άσε που έχω την εντύπωση πως όσοι δεν το δέχονται μαθηματικά (και να πω πάλι οτι ΔΕΝ ανήκω σε αυτούς), ίσως το παθαίνουν αυτό επειδή διαφωνούν ως προς την φιλοσοφική και πρακτική του προέκταση. Πράγμα που εγώ δεν κάνω, απλώς με εντυπωσιάζει και με μπερδεύει. Όσοι δεν μπερδεύονται, μαγκιά τους.
    Αν η ένστασή σου είναι πως δεν μπορώ να μετατρέπω ένα μαθηματικό παράδοξο, σε φιλοσοφικό αδιέξοδο, θυμίζω τη Γάτα του Schrodinger όπου ενώ είναι γνωστό οτι δεν πρέπει να μπερδεύουμε την κβαντομηχανική με τον μακρόκοσμο, υπάρχουν άνθρωποι που τους απασχολεί θεωρητικά έως τις μέρες μας.

  94. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 31/03/2009 21:22:57

    Και ένα υστερόγραφο μιας και μπήκα σε mode «κατά ριπάς σχολιασμού»:

    Την συγνώμη την ζήτησα για την ένταση, όχι για την κίνηση καθεαυτή. Δεν είσαι εντελώς εκτός πλάνου μιας και τα «ταχυδακτυλουργικά» και τον καταλογισμό φθηνού κινήτρου (βλέπε "εντυπώσιασμός") στο πρόσωπό μου από εσένα την εισέπραξα αρχικά, όχι από άσχετο. Από εκεί και πέρα το οτι δεν σε σεβάστηκα στην συνέχια στον βαθμό που έδειξες οτι σου αξίζει, είναι κάτι που το παραδέχθηκα. Ελπίζω κάπου εδώ να μπει μια τελεία.

  95. eyeless in Gaza avatar
    eyeless in Gaza 31/03/2009 22:33:46

    Τα μαθηματικά θέλουν μολύβι και χαρτί. Πάρε λοιπόν και κάνε τις πράξεις που αντέγραψες για να δείς τι σημαίνει αυτός ο συλλογισμός.

    Δεν έχω πρόβλημα να ξαναπώ. Συνοψίζω:

    Είναι μιά απόπειρα απόδειξης στα πλαίσια της αριθμητικής (γι αυτό την είπα και “ελαφρολαϊκή”) της σχέσης 0.9999... (άπειρα) = 1.

    Προσπάθησα να απαντήσω σε μιά παρεξήγηση που ξέρω ότι έκαναν κάποιοι αναγνώστες των σχολίων όταν διάβασαν τα νούμερα. Δεν ξέρω αν και εσύ μέσω αυτής της παρεξήγησης οδηγήθηκες σε "περίεργες προεκτάσεις".

    Ποιά είναι η παρεξήγηση που έκαναν κάποιοι;

    Αυτή η “ταχυδακτυλουργία” (όπως την είπα) με τα εννιάρια που μένουν ίδια μετά τον πολ/σιασμό, ξεγέλασε μερικούς με αποτέλεσμα να λένε: Α, μπορώ εύκολα να δείξω ότι 0.999=1, 0.9999=1, κλπ., και όλα παίζονται... Άρα, η αριθμητική “μπάζει” από παντού. Όχι!

    Το λέω πάλι: Αν ξεκινήσεις με 0.999 τότε θα ξανακαταλήξεις στην ταυτότητα 0.999=0.999, και όχι 0.999 = 1, διότι 10*0.999=9.99.

    Αν ξεκινήσεις με 0.999...9 με πενήντα χιλιάδες εννιάρια, πάλι θα καταλήξεις στην ταυτότητα 0.999..99 (πενήντα χιλ. εννιάρια)=0.999..99 (πενήντα χιλιάδες εννιάρια). Γιατί το 10*0.999 ..9 (πενήντα χιλ. εννιάρια)= 9.999..99..(με 49999 εννιάρια μετά την υποδιαστολή).

    Αν, όμως υποθέσεις ότι ξεκινάς με τον περιοδικό 0.9999... (άπειρα εννιάρια), τότε και μόνον τότε, μπορείς να πείς 10*0.999... (άπειρα 9)=9.9999... (άπειρα 9). Άρα 9.999 (άπειρα 9)-0.999 (άπειρα 9)=9, άρα 0.9999... (άπειρα 9)=1.

    Μόνο στα άπειρα, αυτή η “ταχυδαχτυλουργία” νομιμοποιείται, γιατί πράγματι μπορούμε να βγάζουμε όσα εννιάρια θέλουμε από το καπέλο και να περισσεύουν άπειρα).

    (Για τον ίδιο λόγο ο αριθμός, για παράδειγμα, 12.749999999... (με άπειρα εννιάρια) ισούται με 12.75).

    Αυτό είναι που λέω ότι έπρεπε κάθε απόφοιτος λυκείου να ξέρει, και επίσης να καταλαβαίνει όταν του πουν ότι στην “ανάλυση” (calculus) αυτό βγαίνει από το άθροισμα των άπειρων όρων φθίνουσας γεωμ. προόδου (όπως το έχει και η βίκι που διάβασες)

    Διευκρίνηση: Στα μαθηματικά το 0.999 λέμε ότι αποτελεί ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ του 1 με ακρίβεια χιλιοστού. Το 0.9999..99.. (με 50000 εννιάρια) αποτελεί πάλι προσέγγιση του 1, με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια. Αλλά, ΔΕΝ ισούται με 1. Όμως, ο περιοδικός 0.9999...(άπειρα εννιάρια) = 1. ΙΣΟΥΤΑΙ με την ΜΟΝΑΔΑ, ΕΙΝΑΙ Η ΜΟΝΑΔΑ – ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ.

    Εκεί βρίσκεται η παρεξήγηση που κάνουν πολλοί μαθητές και φοιτητές. Είναι παρεξήγηση, διότι ακόμη δεν κατανόησαν την διαφορά ανάμεσα στο “πολύ μεγάλο” και στο “άπειρο”. Και δεν υπάρχει κάτι μαθηματικά σκοτεινό ούτε και “άλυτο”, όπως είπες, πρόβλημα.

    Εγώ είπα ότι ΜΠΟΡΕΙ ο καθένας να φιλοσοφήσει επάνω στις μαθηματικές έννοιες και τα θεωρήματα. Πού βρήκες οτι το “απαγόρευσα”(!). Όμως το “φιλοσοφώ” δεν σημαίνει ότι μπαίνω μέσα σε μαθηματικά πεδία και λέω ότι νομίζω, και τα παίρνω όλα σβάρνα. Η μαθηματική έννοια του “απείρου” προσφέρεται για πολλές σκέψεις. Για αυτό σου πρότεινα και ένα πολύ ενδιαφέρον βιβλίο πιό πάνω.

    Το ότι συνεχίζω την συζήτηση σημαίνει ότι εκτιμώ το ενδιαφέρον σου για ορισμένα θέματα, και επίσης θέλω να τελειώνω κάτι που άρχισα. Στο κάτω-κάτω εγώ βρίσκω πιό ενδιαφέρουσα την σοβαρή συζήτηση επάνω σε τέτοια θέματα, παρά την ανακύκλωση σχολίων για την μίζερη πολιτική σκηνή της Ελλάδας. Αλλά η άποψη μου είναι ότι, αν θέλεις να “φιλοσοφήσεις” όπως λες με θέματα μαθηματικών, χάους, κβαντομηχανικής, κοσμολογίας, κλπ., πρέπει να καθήσεις να διαβάσεις ορισμένα πράγματα, για να δεις τι ακριβώς είναι αυτά στα οποία αναφέρεσαι. Όχι από εφημερίδες και blogs και βικιπαίδειες, αλλά από σοβαρότερες πηγές.

    Το λέω καλοπροαίρετα. Αλλιώς, κινδυνεύεις να πέφτεις συχνά θύμα "φτηνού εντυπωσιασμού". Όπως όλοι μας, άλλωστε, σε θέματα που δεν γνωρίζουμε επαρκώς.

  96. IT SAVVY avatar
    IT SAVVY 31/03/2009 23:01:31

    Προς Θεου μην το ανοιξετε, μην το κανετε, και προ παντος μη συμπληρωσετε ουτε ονομα ουτε ηλεκτρονικη διευθυνση. KAI PRO ΠΑΝΤΟΣ ΜΗΝ ΤΟ ΠΡΟΩΘΗΣΕΤΑ ΑΠΟ Ο ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ ΣΑΣ! Αυτο ειναι το στανταρτ κολπο για να μαζεουν οι spammers εγκυρες ηλεκτρονικες διευθυνσεις!!!!

    ΜΗΝ ΕΙΣΤΕ ΧΑΖΟΙ! ΣΤΑΜΑΤΗΣΤΕ ΑΜΕΣΩΣ!

  97. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 31/03/2009 23:01:47

    Κατάλαβα που έγινε η παρεξήγηση όμως δεν κατάλαβα αν και κατα πόσο την προκάλεσα εγώ, μιας και δεν ισχυρίσθηκα ποτέ οτι με άλλους περιοδικούς ισχύει το ίδιο. Χαίρομαι που το λύσαμε γιατί είχα αρχίσει να αμφισβητώ αν διαβάζω σωστά αυτά που έχω γράψει. Ελπίζω να τα πούμε ξανά..

  98. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 31/03/2009 23:04:30

    Επίσης σε αυτό που λέει το #109 δεν έχει άδικο. Είναι γνωστό κόλπο αυτό με την προτροπή σε προωθήσεις και δεν αποκλείω όποιος το έκανε να την πατήσει.
    Όχι όμως με απλό άνοιγμα του αρχείου για να δεις αν ισχύει η απάντηση που σκέφτηκες, αυτό είναι τραβηγμένο.

  99. Ξένος Δάκτυλος avatar
    Ξένος Δάκτυλος 31/03/2009 23:12:48

    Eyeless τώρα που διάβασα ξανά το σχόλιό σου κατάλαβα που εντοπίζεται το πρόβλημα. Όταν το wikipedia λέει «0,99...9» εννοεί άπειρα εννιάρια, όχι πεπερασμένο πλήθος. Άρα δεν μπορεί να είναι πεντακόσια, ούτε χίλια. Το αποκλείει. Δεν ξέρω γιατί έχει γραφεί έτσι και είναι η πρώτη φορά που συναντώ περιοδικό δεκαδικό με τέτοια διατύπωση. Στις παρενθέσεις του εξηγεί οτι η διατύπωση ισοδυναμεί με το γνωστό «0,9 περίοδος» και το κάνει μάλλον γιατί είναι δύσκολο να συμβολιστεί σε Unicode κατά την πληκτρολόγιση. Εξ’ ού και η πρόθεσή μου να το μεταβάλω και να το παρουσιάσω ως «0,99...» για να μη συμβεί μπουρδούκλωμα με το τελευταίο 9 που κολλάει μετά τις τελίτσες. Όμως δεν απεφεύχθη..

ΑΠΟΣΤΟΛΗ ΣΧΟΛΙΟΥ

Τα δεδομένα σας είναι ασφαλή! H διεύθυνση email δε θα δημοσιευθεί. Τα στοιχεία θα χρησιμοποιηθούν αποκλειστικά για τη δυνατότητα σχολιασμού στο antinews.gr .

Tα πεδία με αστερίσκο (*) είναι υποχρεωτικά.